学習記録

微分積分入門

微分積分の勉強を一通り終えたので、「微分積分とは何か?」や使用したテキストの感想等を、忘れないうちにまとめておきたいと思います。

微分とは?

微分法の定義

まず、「微分法は接線の傾きを求める方法」を微分法といいます。接線とは、下図のように「円や曲線と1点で接する直線」のことですね。

 

 

円に接線を引くのは簡単ですが、曲線に引くのは容易ではありません。微分法を使えば、「曲線の接線の傾きが分かる=接線を引くことができる」ようになります。

曲線のグラフ / 出典:Excel備忘録

接線は放物運動や、ジェットコースター等では進行方向を表します。そのため、「接線が引ける=進行方向が分かる」ということになります。

なぜ曲線の接線の傾きが分かるのか?

微分法を使えば、関数さえ分かっていれば「曲線上のどの位置でも接線の傾きが分かる」ようになります。不思議ですよね。

なぜこういったことができるかというと、微分法を発明したニュートンは「曲線を無限に細かく分割する」という発想を使いました。「曲線でもごくごく短い区間では、直線と見なせる」と考えたのですね。

ここから曲線の傾きが分かる公式(微分の公式)を導きました。

微分の公式

関数「\(y=x^{n}\)」を微分する(接線の傾きを求める)と「\(y=nx^{n-1}\)」となります。

元の関数から生まれた新たな関数「\(y=nx^{n-1}\)」のことを「導関数」といいます。

積分とは?

積分法の定義

次に、積分について説明します。「グラフの面積を求める方法」を積分法といいます。例えば下図でいうと、積分法を使えばピンクで囲まれた領域Sを求めることができます。

なぜグラフの面積が求められるのか?

ニュートンは、グラフの面積を求める方法も先ほどの微分と同じような考え方を使用しました。

「面積を求めたい部分を縦に無限に細かく分割し、長方形とした」のですね。無限に細かく分割した長方形の面積の和は、正確な面積との差が限りなく小さくなっていきます。

ここからグラフの面積を求める式(積分の公式)を導きました。

積分の公式

「\(y=x^{n}\)」を積分する(グラフの面積が求める)と、「\(y=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)」となります。

元の関数から生まれた新たな関数「\(y=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)」のことを「原始関数」といいます。

微分と積分の不思議な関係

微分と積分は表裏一体!

ニュートンは微分と積分が「逆」の関係であることも発見しました。(私はこの年になって初めて微分積分を勉強したのですが、この関係を知ったとき、本当に不思議で「うそ~!」という感じでした。)

例えば、関数「\(y=x^{3}\)」を微分すると、導関数「\(y=3x^{2}\)」が得られます。そして、得られた導関数「\(y=3x^{2}\)」を積分すると、原子関数「\(y=x^{3}+C\)」が得られます。

残念ながら「\(+C\)」の部分だけは、積分で特定できないのですが、「\(y=x^{3}\)」の部分は微分する前の関数と一致します。

積分定数「\(C\)」について

例えば、「\(y=x^{3}+4\)」のように定数項(この式では「\(+4\)」のこと)を含む関数を微分すると、定数には傾きがないため、導関数に反映されません。そのため導関数を再び積分して元の関数に戻したくても、定数項は特定できないため、その代わりに「\(+C\)」を置いているのですね。


使用したビデオ&テキストと感想

ビデオ

  • 3271 微分積分入門(1) ~ 3280 微分積分入門(7)【E】

(ビデオNo.は連番ではありません。)

ビデオの感想

今回初めて微分積分を勉強しましたが、このビデオではテキストに沿って一から詳しく解説して下さるので、とても分かりやすかったです。正直テキストだけでは、ここまで理解できなかったと思います。

そもそも、微分積分は「物理で必要になるだろう」と思い、どうせなら必要になる前にと勉強を始めたのですが、ビデオセミナーでもあるように微分積分は特許に出てくるので、物理云々関係なく勉強することは必須だったなと思いました。

もし微分積分に不安にある方がいれば、これらのビデオをおすすめします。ただ、その際後述のテキストはご準備された方が良いと思います。

また、視聴のタイミングですが、「速度・加速度」の話や「放物運動」の話が出てくるので、橋元シリーズでこれらの部分を終わらせてからの方が分かりやすいと思います。

(「橋元の物理」第1講が「位置、速度、加速度」、第5講が「放物運動」なので、第5講が終わってからがおすすめです。)

テキスト

使用したのは「ニュートン式 超図解 最強に面白い!! 微分積分」です。

テキストの感想

三角関数対数でも使用したニュートン式シリーズの「微分積分」の本です。昨年勉強した「対数」はKindle版を、「三角関数」と「微分積分」は単行本(ソフトカバー)を購入しました。

Kindle版のメリット&デメリット

Kindle版には、「(単行本よりも)安い、購入後すぐに読める(発送の時間がいらない)」というメリットがあるのですが、このシリーズに関しては単行本をおすすめします。理由は、Kindle版は図や字が小さく見にくいことと、2ページに渡って書かれている説明や図が1ページずつしか表示されないためです。

この本は図が多く使用されていて、初心者で数学に苦手意識がある人でも取り掛かりやすいと感じました。

私は毎週1日×3週間に分けて微分積分を勉強しましたが、正直いうと間に1週間経つと内容を結構忘れてしまいます(汗)。そんなとき復習するのに特にこのテキストが重宝しました。薄いので、パラパラと自分が復習したいページを読むことで内容が思い出せるからです。

作成したマインドマップ

今回の微分積分シリーズのビデオは、主にノートにグラフ等を書きつつ、マインドマップにメモしながら進めました。参考までに作成したマインドマップをアップロードします。

終わりに

時間の都合上駆け足になってしまいましたが、微分積分の基礎中の基礎の部分をまとめてみました。

ビデオを視聴している最中は、何度も復習しながらきちんと理解した上で勉強することを意識していたのに、いざブログに書こうとすると中々うまく説明できず、たったこれだけ書くのにも予想以上に時間がかかってしまいました。(ざっと5時間くらいです…)

理解したつもりでも、きちんと頭の中が整理できていなかったと反省しました。ブログを書いたおかげで、自分自身の復習になりました。

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